专升本数学严选800题

基础部分：导数应用与不定积分（第73-112题）

一、导数应用（切线、极值、渐近线等）

函数 $y = x + e^x$ 在 $x = 0$ 处的切线方程为 $\underline{\hspace{10em}}$。

答案：$y = 2x + 1$
步骤1：求切点坐标

当 $x = 0$ 时，$y = 0 + e^0 = 1$，切点为 $(0, 1)$。

步骤2：求导数（切线斜率）

$y' = 1 + e^x$，在 $x = 0$ 处，$k = y'(0) = 1 + 1 = 2$。

步骤3：写出切线方程

$y - 1 = 2(x - 0)$，即 $y = 2x + 1$。
曲线 $y = x^3 + x + 1$ 在其拐点处的切线方程为 $\underline{\hspace{10em}}$。

答案：$y = x + 1$
步骤1：求二阶导数找拐点

$y' = 3x^2 + 1$，$y'' = 6x$。

令 $y'' = 0$，得 $x = 0$。

步骤2：确定拐点坐标

当 $x = 0$ 时，$y = 0 + 0 + 1 = 1$，拐点为 $(0, 1)$。

步骤3：求切线斜率

$k = y'(0) = 3 \cdot 0 + 1 = 1$。

步骤4：切线方程

$y - 1 = 1 \cdot (x - 0)$，即 $y = x + 1$。
函数 $y = ax^2 - 2bx - 1$ 在 $x = 1$ 处取得极大值 $3$，则 $a = \underline{\hspace{4em}}$，$b = \underline{\hspace{4em}}$。

答案：$a = -4$，$b = -4$
条件1：函数值为3

$y(1) = a - 2b - 1 = 3$，即 $a - 2b = 4$ ... ①

条件2：导数为0（极值点）

$y' = 2ax - 2b$，$y'(1) = 2a - 2b = 0$，即 $a = b$ ... ②

条件3：极大值（二阶导数小于0）

$y'' = 2a < 0$，即 $a < 0$。

联立求解

由①②：$a - 2a = 4$，得 $a = -4$，所以 $b = -4$。

验证：$a = -4 < 0$，满足极大值条件。
$f(x) = \arctan x$ 在 $[0,1]$ 上满足拉格朗日中值定理的中值 $\xi = \underline{\hspace{6em}}$。

答案：$\sqrt{\frac{4-\pi}{\pi}}$
拉格朗日中值定理

$f'(\xi) = \frac{f(1) - f(0)}{1 - 0}$

计算各项

$f(1) = \arctan 1 = \frac{\pi}{4}$，$f(0) = 0$。

$f'(x) = \frac{1}{1+x^2}$，所以 $f'(\xi) = \frac{1}{1+\xi^2}$。

建立方程

$\frac{1}{1+\xi^2} = \frac{\pi}{4} - 0 = \frac{\pi}{4}$

$1 + \xi^2 = \frac{4}{\pi}$

$\xi^2 = \frac{4}{\pi} - 1 = \frac{4-\pi}{\pi}$

$\xi = \sqrt{\frac{4-\pi}{\pi}}$（取正值，因为在$[0,1]$内）
函数 $y = \frac{2}{(x+3)^2}$ 的垂直渐近线为 $\underline{\hspace{8em}}$。

答案：$x = -3$
分析

垂直渐近线出现在分母为零处。

令 $(x+3)^2 = 0$，得 $x = -3$。

验证

$\lim_{x \to -3} \frac{2}{(x+3)^2} = +\infty$

所以垂直渐近线为 $x = -3$。
函数 $y = \frac{1}{x} + \arctan x$ 的水平渐近线为 $\underline{\hspace{8em}}$。

答案：$y = \frac{\pi}{2}$（$x \to +\infty$）和 $y = -\frac{\pi}{2}$（$x \to -\infty$）
当 $x \to +\infty$ 时

$\frac{1}{x} \to 0$，$\arctan x \to \frac{\pi}{2}$

所以 $y \to \frac{\pi}{2}$

当 $x \to -\infty$ 时

$\frac{1}{x} \to 0$，$\arctan x \to -\frac{\pi}{2}$

所以 $y \to -\frac{\pi}{2}$

结论：有两条水平渐近线 $y = \pm\frac{\pi}{2}$。
函数 $y = \frac{x^2}{1-x^3}$ 的水平渐近线为 $\underline{\hspace{8em}}$。

答案：$y = 0$
分析分子分母次数

分子次数为2，分母次数为3。

当分母次数 > 分子次数时，水平渐近线为 $y = 0$。

验证

$\lim_{x \to \infty} \frac{x^2}{1-x^3} = \lim_{x \to \infty} \frac{x^2}{-x^3} = \lim_{x \to \infty} (-\frac{1}{x}) = 0$
设函数 $f(x) = ae^{-2x}$ 的一个原函数是 $2e^{-2x}$，则 $a = \underline{\hspace{6em}}$。

答案：$a = -4$
原函数定义

若 $F(x) = 2e^{-2x}$ 是 $f(x)$ 的原函数，则 $F'(x) = f(x)$。

求导验证

$F'(x) = 2 \cdot (-2)e^{-2x} = -4e^{-2x}$

比较

$f(x) = ae^{-2x} = -4e^{-2x}$

所以 $a = -4$。

二、不定积分计算（换元法基础）

设 $f(x) = \sin x$，则 $\int e^x f''(1-3e^x) dx = \underline{\hspace{10em}}$。

答案：$\frac{1}{3}\sin(1-3e^x) + C$
步骤1：求 $f''(x)$

$f(x) = \sin x$，$f'(x) = \cos x$，$f''(x) = -\sin x$

所以 $f''(1-3e^x) = -\sin(1-3e^x)$

步骤2：代入积分

原式 $= \int e^x \cdot [-\sin(1-3e^x)] dx = -\int e^x \sin(1-3e^x) dx$

步骤3：换元

令 $u = 1-3e^x$，则 $du = -3e^x dx$，即 $e^x dx = -\frac{1}{3}du$

原式 $= -\int \sin u \cdot (-\frac{1}{3})du = \frac{1}{3}\int \sin u \, du$

$= -\frac{1}{3}\cos u + C = -\frac{1}{3}\cos(1-3e^x) + C$

注：若题目为 $f'(1-3e^x)$ 则答案为 $\frac{1}{3}\sin(1-3e^x)+C$，请根据原题确认。
设 $f(x)$ 的一个原函数为 $\sin x$，则 $\int x f'(x) dx = \underline{\hspace{10em}}$。

答案：$x\cos x - \sin x + C$
分析已知条件

$f(x)$ 的原函数是 $\sin x$，所以 $f(x) = (\sin x)' = \cos x$。

则 $f'(x) = -\sin x$。

方法：分部积分法

$\int x f'(x) dx = \int x \, df(x) = x f(x) - \int f(x) dx$

$= x \cos x - \sin x + C$
$\int x^2 \cdot \sqrt[5]{x} \, dx = \underline{\hspace{10em}}$。

答案：$\frac{5}{16}x^{\frac{16}{5}} + C$ 或 $\frac{5}{16}x^3\sqrt[5]{x} + C$
化为幂函数

$\sqrt[5]{x} = x^{\frac{1}{5}}$

原式 $= \int x^2 \cdot x^{\frac{1}{5}} dx = \int x^{\frac{11}{5}} dx$

应用幂函数积分公式

$= \frac{x^{\frac{11}{5}+1}}{\frac{11}{5}+1} + C = \frac{x^{\frac{16}{5}}}{\frac{16}{5}} + C$

$= \frac{5}{16}x^{\frac{16}{5}} + C = \frac{5}{16}x^3 \cdot x^{\frac{1}{5}} + C = \frac{5}{16}x^3\sqrt[5]{x} + C$
$\int e^x \left(3 + \frac{e^{-x}}{1+x^2}\right) dx = \underline{\hspace{10em}}$。

答案：$3e^x + \arctan x + C$
展开积分

原式 $= \int 3e^x dx + \int \frac{e^x \cdot e^{-x}}{1+x^2} dx$

$= \int 3e^x dx + \int \frac{1}{1+x^2} dx$

分别积分

$= 3e^x + \arctan x + C$
$\int (5^x e^x - 1) \, dx = \underline{\hspace{10em}}$。

答案：$\frac{(5e)^x}{\ln(5e)} - x + C$ 或 $\frac{5^x e^x}{1+\ln 5} - x + C$
化简

$5^x e^x = (5e)^x$

分别积分

$\int (5e)^x dx = \frac{(5e)^x}{\ln(5e)} = \frac{5^x e^x}{\ln 5 + 1}$

$\int (-1) dx = -x$

结果

原式 $= \frac{5^x e^x}{1+\ln 5} - x + C$
$\int \frac{(1+x)^2}{x^3} \, dx = \underline{\hspace{10em}}$。

答案：$\ln|x| - \frac{2}{x} - \frac{1}{2x^2} + C$
展开分子

$(1+x)^2 = 1 + 2x + x^2$

分项

$\frac{1+2x+x^2}{x^3} = \frac{1}{x^3} + \frac{2}{x^2} + \frac{1}{x}$

分别积分

$\int \frac{1}{x} dx = \ln|x|$

$\int \frac{2}{x^2} dx = -\frac{2}{x}$

$\int \frac{1}{x^3} dx = \frac{x^{-2}}{-2} = -\frac{1}{2x^2}$

合并

原式 $= \ln|x| - \frac{2}{x} - \frac{1}{2x^2} + C$
$\int \frac{x^2}{1+x^2} \, dx = \underline{\hspace{10em}}$。

答案：$x - \arctan x + C$
变形

$\frac{x^2}{1+x^2} = \frac{(x^2+1)-1}{1+x^2} = 1 - \frac{1}{1+x^2}$

分别积分

$\int 1 \, dx = x$

$\int \frac{1}{1+x^2} dx = \arctan x$

结果

原式 $= x - \arctan x + C$
$\int \frac{\cos 2x}{\cos x + \sin x} \, dx = \underline{\hspace{10em}}$。

答案：$\sin x + \cos x + C$
利用二倍角公式

$\cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x = (\cos x + \sin x)(\cos x - \sin x)$

约分

原式 $= \int \frac{(\cos x + \sin x)(\cos x - \sin x)}{\cos x + \sin x} dx$

$= \int (\cos x - \sin x) dx$

积分

$= \sin x + \cos x + C$

三、不定积分计算（三角函数与换元）

$\int \cos^2 \frac{x}{2} \, dx = \underline{\hspace{10em}}$。

答案：$\frac{x}{2} + \frac{\sin x}{2} + C$ 或 $\frac{1}{2}(x + \sin x) + C$
降幂公式

$\cos^2 \theta = \frac{1 + \cos 2\theta}{2}$

令 $\theta = \frac{x}{2}$，则 $\cos^2 \frac{x}{2} = \frac{1 + \cos x}{2}$

积分

原式 $= \int \frac{1 + \cos x}{2} dx = \frac{1}{2}\int (1 + \cos x) dx$

$= \frac{1}{2}(x + \sin x) + C = \frac{x}{2} + \frac{\sin x}{2} + C$
$\int \frac{\cos 2x}{\cos^2 x \sin^2 x} \, dx = \underline{\hspace{10em}}$。

答案：$-\cot x - \tan x + C$
利用 $\cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x$

原式 $= \int \frac{\cos^2 x - \sin^2 x}{\cos^2 x \sin^2 x} dx$

分项

$= \int \left(\frac{1}{\sin^2 x} - \frac{1}{\cos^2 x}\right) dx$

$= \int (\csc^2 x - \sec^2 x) dx$

积分

$= -\cot x - \tan x + C$
$\int \frac{1}{5+2x} \, dx = \underline{\hspace{10em}}$。

答案：$\frac{1}{2}\ln|5+2x| + C$
换元法

令 $u = 5+2x$，则 $du = 2dx$，即 $dx = \frac{1}{2}du$

原式 $= \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} du = \frac{1}{2}\ln|u| + C$

$= \frac{1}{2}\ln|5+2x| + C$
$\int 2\cos 2x \, dx = \underline{\hspace{10em}}$。

答案：$\sin 2x + C$
直接积分

$\int 2\cos 2x \, dx = 2 \cdot \frac{\sin 2x}{2} + C = \sin 2x + C$

或换元：令 $u = 2x$，$du = 2dx$

$= \int \cos u \, du = \sin u + C = \sin 2x + C$
$\int 2x e^{-x^2} \, dx = \underline{\hspace{10em}}$。

答案：$-e^{-x^2} + C$
换元法

令 $u = -x^2$，则 $du = -2x \, dx$，即 $2x \, dx = -du$

原式 $= \int e^{u} \cdot (-du) = -e^u + C$

$= -e^{-x^2} + C$
$\int x\sqrt{1-4x^2} \, dx = \underline{\hspace{10em}}$。

答案：$-\frac{1}{12}(1-4x^2)^{\frac{3}{2}} + C$
换元法

令 $u = 1-4x^2$，则 $du = -8x \, dx$，即 $x \, dx = -\frac{1}{8}du$

原式 $= \int \sqrt{u} \cdot (-\frac{1}{8}) du = -\frac{1}{8}\int u^{\frac{1}{2}} du$

$= -\frac{1}{8} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C = -\frac{1}{12}u^{\frac{3}{2}} + C$

$= -\frac{1}{12}(1-4x^2)^{\frac{3}{2}} + C$
$\int \frac{1}{x(5-4\ln x)} \, dx = \underline{\hspace{10em}}$。

答案：$-\frac{1}{4}\ln|5-4\ln x| + C$
换元法

令 $u = 5-4\ln x$，则 $du = -4 \cdot \frac{1}{x} dx$，即 $\frac{1}{x}dx = -\frac{1}{4}du$

原式 $= \int \frac{1}{u} \cdot (-\frac{1}{4}) du = -\frac{1}{4}\ln|u| + C$

$= -\frac{1}{4}\ln|5-4\ln x| + C$
$\int \frac{e^{-3\sqrt{x}}}{\sqrt{x}} \, dx = \underline{\hspace{10em}}$。

答案：$-\frac{2}{3}e^{-3\sqrt{x}} + C$
换元法

令 $u = -3\sqrt{x} = -3x^{\frac{1}{2}}$

则 $du = -3 \cdot \frac{1}{2} x^{-\frac{1}{2}} dx = -\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{x}} dx$

即 $\frac{1}{\sqrt{x}}dx = -\frac{2}{3}du$

原式 $= \int e^{u} \cdot (-\frac{2}{3}) du = -\frac{2}{3}e^u + C$

$= -\frac{2}{3}e^{-3\sqrt{x}} + C$

四、不定积分计算（三角换元与技巧）

$\int \frac{\sin 2\sqrt{x}}{\sqrt{x}} \, dx = \underline{\hspace{10em}}$。

答案：$-\cos 2\sqrt{x} + C$
换元法

令 $u = 2\sqrt{x}$，则 $du = 2 \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} dx = \frac{1}{\sqrt{x}}dx$

原式 $= \int \sin u \, du = -\cos u + C$

$= -\cos 2\sqrt{x} + C$
$\int \sin^3 x \, dx = \underline{\hspace{10em}}$。

答案：$-\cos x + \frac{1}{3}\cos^3 x + C$
变形

$\sin^3 x = \sin^2 x \cdot \sin x = (1-\cos^2 x)\sin x$

换元

令 $u = \cos x$，则 $du = -\sin x \, dx$

原式 $= \int (1-u^2)(-du) = \int (u^2-1)du$

$= \frac{u^3}{3} - u + C = \frac{\cos^3 x}{3} - \cos x + C$

$= -\cos x + \frac{1}{3}\cos^3 x + C$
$\int \cos^2 x \, dx = \underline{\hspace{10em}}$。

答案：$\frac{x}{2} + \frac{\sin 2x}{4} + C$
降幂公式

$\cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2}$

积分

原式 $= \int \frac{1 + \cos 2x}{2} dx = \frac{1}{2}\int (1 + \cos 2x) dx$

$= \frac{1}{2}(x + \frac{\sin 2x}{2}) + C = \frac{x}{2} + \frac{\sin 2x}{4} + C$
$\int \frac{2^{\arcsin x}}{\sqrt{1-x^2}} \, dx = \underline{\hspace{10em}}$。

答案：$\frac{2^{\arcsin x}}{\ln 2} + C$
换元法

令 $u = \arcsin x$，则 $du = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} dx$

原式 $= \int 2^u \, du = \frac{2^u}{\ln 2} + C$

$= \frac{2^{\arcsin x}}{\ln 2} + C$
$\int \frac{\sin x}{\cos^3 x} \, dx = \underline{\hspace{10em}}$。

答案：$\frac{1}{2\cos^2 x} + C$ 或 $\frac{1}{2}\sec^2 x + C$
换元法

令 $u = \cos x$，则 $du = -\sin x \, dx$

原式 $= \int \frac{-du}{u^3} = -\int u^{-3} du$

$= -\frac{u^{-2}}{-2} + C = \frac{1}{2u^2} + C$

$= \frac{1}{2\cos^2 x} + C = \frac{1}{2}\sec^2 x + C$
$\int \frac{e^x}{1+e^{2x}} \, dx = \underline{\hspace{10em}}$。

答案：$\arctan(e^x) + C$
换元法

令 $u = e^x$，则 $du = e^x dx$

原式 $= \int \frac{du}{1+u^2} = \arctan u + C$

$= \arctan(e^x) + C$
$\int \frac{x}{\sqrt{3-x^2}} \, dx = \underline{\hspace{10em}}$。

答案：$-\sqrt{3-x^2} + C$
换元法

令 $u = 3-x^2$，则 $du = -2x \, dx$，即 $x \, dx = -\frac{1}{2}du$

原式 $= \int \frac{-\frac{1}{2}du}{\sqrt{u}} = -\frac{1}{2}\int u^{-\frac{1}{2}} du$

$= -\frac{1}{2} \cdot 2u^{\frac{1}{2}} + C = -\sqrt{u} + C$

$= -\sqrt{3-x^2} + C$
$\int \frac{x^3}{9+x^2} \, dx = \underline{\hspace{10em}}$。

答案：$\frac{x^2}{2} - \frac{9}{2}\ln(9+x^2) + C$
变形

$\frac{x^3}{9+x^2} = \frac{x(x^2+9)-9x}{9+x^2} = x - \frac{9x}{9+x^2}$

分别积分

$\int x \, dx = \frac{x^2}{2}$

$\int \frac{9x}{9+x^2} dx$：令 $u = 9+x^2$，$du = 2x \, dx$

$= \frac{9}{2}\ln(9+x^2)$

结果

原式 $= \frac{x^2}{2} - \frac{9}{2}\ln(9+x^2) + C$

五、不定积分计算（综合技巧）

$\int \frac{1}{(x+1)(x-2)} \, dx = \underline{\hspace{10em}}$。

答案：$\frac{1}{3}\ln\left|\frac{x-2}{x+1}\right| + C$
部分分式分解

$\frac{1}{(x+1)(x-2)} = \frac{A}{x+1} + \frac{B}{x-2}$

$1 = A(x-2) + B(x+1)$

令 $x = 2$：$1 = 3B$，$B = \frac{1}{3}$

令 $x = -1$：$1 = -3A$，$A = -\frac{1}{3}$

积分

原式 $= \int \left(\frac{-1/3}{x+1} + \frac{1/3}{x-2}\right)dx$

$= -\frac{1}{3}\ln|x+1| + \frac{1}{3}\ln|x-2| + C$

$= \frac{1}{3}\ln\left|\frac{x-2}{x+1}\right| + C$
$\int \frac{1}{x\sqrt{x^2-1}} \, dx = \underline{\hspace{10em}}$。

答案：$\arccos\frac{1}{|x|} + C$
三角换元

令 $x = \sec t$，则 $dx = \sec t \tan t \, dt$

$\sqrt{x^2-1} = \tan t$

原式 $= \int \frac{\sec t \tan t}{\sec t \cdot \tan t} dt = \int dt = t + C$

$= \text{arcsec}\, x + C = \arccos\frac{1}{x} + C$（$x>0$）

一般形式：$\arccos\frac{1}{|x|} + C$
$\int \frac{1}{\sqrt{9-4x^2}} \, dx = \underline{\hspace{10em}}$。

答案：$\frac{1}{2}\arcsin\frac{2x}{3} + C$
变形为标准形式

$\sqrt{9-4x^2} = 3\sqrt{1-(\frac{2x}{3})^2}$

原式 $= \int \frac{dx}{3\sqrt{1-(\frac{2x}{3})^2}}$

换元

令 $u = \frac{2x}{3}$，则 $du = \frac{2}{3}dx$，$dx = \frac{3}{2}du$

原式 $= \int \frac{\frac{3}{2}du}{3\sqrt{1-u^2}} = \frac{1}{2}\int \frac{du}{\sqrt{1-u^2}}$

$= \frac{1}{2}\arcsin u + C = \frac{1}{2}\arcsin\frac{2x}{3} + C$
$\int \frac{1}{1+\sqrt{2x}} \, dx = \underline{\hspace{10em}}$。

答案：$\sqrt{2x} - \ln(1+\sqrt{2x}) + C$
换元法

令 $t = \sqrt{2x}$，则 $t^2 = 2x$，$2t \, dt = 2dx$，$dx = t \, dt$

原式 $= \int \frac{t}{1+t} dt = \int \frac{(1+t)-1}{1+t} dt$

$= \int (1 - \frac{1}{1+t}) dt = t - \ln|1+t| + C$

$= \sqrt{2x} - \ln(1+\sqrt{2x}) + C$
$\int \tan^3 x \sec x \, dx = \underline{\hspace{10em}}$。

答案：$\frac{1}{3}\sec^3 x - \sec x + C$
变形

$\tan^3 x \sec x = \tan^2 x \cdot \tan x \sec x = (\sec^2 x - 1)\sec x \tan x$

换元

令 $u = \sec x$，则 $du = \sec x \tan x \, dx$

原式 $= \int (u^2 - 1) du = \frac{u^3}{3} - u + C$

$= \frac{1}{3}\sec^3 x - \sec x + C$
$\int \tan^5 x \sec^2 x \, dx = \underline{\hspace{10em}}$。

答案：$\frac{1}{6}\tan^6 x + C$
换元法

令 $u = \tan x$，则 $du = \sec^2 x \, dx$

原式 $= \int u^5 \, du = \frac{u^6}{6} + C$

$= \frac{1}{6}\tan^6 x + C$
$\int \frac{1}{e^x+1} \, dx = \underline{\hspace{10em}}$。

答案：$x - \ln(e^x+1) + C$
变形

$\frac{1}{e^x+1} = \frac{(e^x+1)-e^x}{e^x+1} = 1 - \frac{e^x}{e^x+1}$

积分

原式 $= \int (1 - \frac{e^x}{e^x+1}) dx = x - \ln(e^x+1) + C$

或乘以 $\frac{e^{-x}}{e^{-x}}$：

$= \int \frac{e^{-x}}{1+e^{-x}} dx = -\ln(1+e^{-x}) + C = \ln\frac{e^x}{e^x+1} + C$
$\int \ln x \, dx = \underline{\hspace{10em}}$。

答案：$x\ln x - x + C$
分部积分法

$\int \ln x \, dx = x\ln x - \int x \cdot \frac{1}{x} dx$

$= x\ln x - \int 1 \, dx$

$= x\ln x - x + C$